Билет №10 1.Средняя линия треугольника (определение и теорема с доказательством). 2. Решение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.

Билет №10

• 1. Средняя линия треугольника: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Теорема: Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны. Доказательство: Пусть MN — средняя линия треугольника ABC (M — середина AB, N — середина AC). Построим через M прямую, параллельную BC. По теореме Фалеса, она пересечет AC в точке N, так как M — середина AB. Таким образом, MN || BC. Треугольники AMN и ABC подобны по двум углам (угол A общий, \( ∠AMN = ∠ABC \) как соответственные при MN || BC и секущей AB). Отношение подобия равно 1:2 (так как AM = MB, следовательно AM = 1/2 AB). Значит, \( rac{MN}{BC} = rac{1}{2} \), откуда \( MN = rac{1}{2}BC \).
• 2. Решение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу: Зная гипотенузу \(c\) и острый угол \( ∠A \), можно найти катеты: \( a = c sin( ∠A ) \) и \( b = c cos( ∠A ) \). Второй острый угол равен \( ∠B = 90° - ∠A \).