Билет 11 1. Прямоугольный треугольник с углом в 30 и его свойства. Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе 2. Признаки подобия треугольников 3. Диагонали АС и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, АС=10, BD=22, AB=9. Найдите DO. 4. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 182. Найдите диагональ этого квадрата.

Ответ: DO = 11, диагональ квадрата = 36\(\sqrt{2}\)

Билет 11

1. Прямоугольный треугольник с углом в 30° и его свойства:
   • В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы.
2. Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе:
   • Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
3. Признаки подобия треугольников:
   • Первый признак: по двум углам (если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны).
   • Второй признак: по двум сторонам и углу между ними (если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны).
   • Третий признак: по трём сторонам (если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны).
4. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 10, BD = 22, AB = 9. Найдите DO.
   • Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
   • Таким образом, DO = BD / 2 = 22 / 2 = 11.
5. Радиус вписанной в квадрат окружности равен \(18\sqrt{2}\). Найдите диагональ этого квадрата.
   • Радиус вписанной окружности в квадрат равен половине стороны квадрата: \(r = a/2\), где a - сторона квадрата.
   • Тогда сторона квадрата равна \(a = 2r = 2 \cdot 18\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\).
   • Диагональ квадрата равна \(d = a\sqrt{2} = 36\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 36 \cdot 2 = 72\).

Ответ: DO = 11, диагональ квадрата = 36\(\sqrt{2}\)