2. (1 балл) На рисунке 2 DE = EF и DM = MF. МК - биссектриса треугольника MEF. Найдите угол ДМК.

Так как DE = EF, DM = MF, то EM - медиана и высота треугольника DEF, следовательно, ΔDEF - равнобедренный, EM - высота и биссектриса.

∠DEM = 90°

∠KEM = ∠FEM/2 (т.к. МК - биссектриса ∠MEF)

Так как DE = EF, то ∠EDM = ∠EFM. Пусть ∠EDM = α, тогда ∠EFM = α.

Сумма углов треугольника DEM равна 180°.

∠DEM + ∠EDM + ∠DME = 180°

90° + α + ∠DME = 180°

∠DME = 90° - α

Сумма углов треугольника MEF равна 180°.

∠EFM + ∠EDF + ∠FME = 180°

α + α + ∠FME = 180°

∠FME = 180° - 2α

∠KEM = ∠FME/2 = (180° - 2α)/2 = 90° - α

∠DMK = ∠DME + ∠KEM = (90° - α) + (90° - α) = 180° - 2α

В треугольнике DEF: ∠DEF = 180° - 2α.

Т.к. EM - высота, то ∠DEM = 90°.

В треугольнике DEM: ∠MDE + ∠MED = 90°.

В треугольнике MEF: ∠MEF + ∠MFE = 90°.

∠EDC = 55° (по условию).

Рассмотрим четырехугольник EDMF.

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

∠DEF + ∠EDM + ∠EFM + ∠FME = 360°

∠EDF + 90° + 90° = 360°

∠EDF = 180°

Значит, точки E, D и F лежат на одной прямой.

Тогда ∠EDC - развернутый, и равен 180°.

Но по условию ∠EDC = 55°.

Противоречие. Значит, точки E, D и F не лежат на одной прямой.

Определить угол DMK невозможно, не хватает данных.

Ответ: Невозможно определить угол DMK.