B2. Решите уравнение: а) \(\sqrt{7x-5}=x-7\); б) \(\sqrt{5x+4}=x-4\) B3. Решите уравнение: а) \(\sqrt{5-2x}=2x-5\); б) \(\sqrt{9-4x}=4x-9\) B4. Решите уравнение: а) \(5\sqrt{x}=4x+1\); б) \(5\sqrt{x}-3x+2=0\)

Решение:

B2.

1. \[ \sqrt{7x-5}=x-7 \]
• Дополнительное условие: \(x-7 \ge 0\), то есть \(x \ge 7\).
• Возведем обе части в квадрат: \(7x-5 = (x-7)^2 = x^2 - 14x + 49\).
• Приведем к квадратному уравнению: \(x^2 - 21x + 54 = 0\).
• Найдем корни: \(x = \frac{21 \pm \sqrt{(-21)^2 - 4(1)(54)}}{2} = \frac{21 \pm \sqrt{441 - 216}}{2} = \frac{21 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{21 \pm 15}{2}\).
• Корни: \(x_1 = \frac{21+15}{2} = 18\), \(x_2 = \frac{21-15}{2} = 3\).
• Проверим условие \(x \ge 7\). Корень \(x_1 = 18\) подходит. Корень \(x_2 = 3\) не подходит.
• Проверка корня \(x=18\): \(\sqrt{7(18)-5} = \sqrt{126-5} = \sqrt{121} = 11\). \(18-7 = 11\). Равенство верно.
• Ответ: \(x=18\).
2. \[ \sqrt{5x+4}=x-4 \]
• Дополнительное условие: \(x-4 \ge 0\), то есть \(x \ge 4\).
• Возведем обе части в квадрат: \(5x+4 = (x-4)^2 = x^2 - 8x + 16\).
• Приведем к квадратному уравнению: \(x^2 - 13x + 12 = 0\).
• Найдем корни: \(x = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(1)(12)}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 48}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{13 \pm 11}{2}\).
• Корни: \(x_1 = \frac{13+11}{2} = 12\), \(x_2 = \frac{13-11}{2} = 1\).
• Проверим условие \(x \ge 4\). Корень \(x_1 = 12\) подходит. Корень \(x_2 = 1\) не подходит.
• Проверка корня \(x=12\): \(\sqrt{5(12)+4} = \sqrt{60+4} = \sqrt{64} = 8\). \(12-4 = 8\). Равенство верно.
• Ответ: \(x=12\).

B3.

1. \[ \sqrt{5-2x}=2x-5 \]
• Дополнительное условие: \(2x-5 \ge 0\), то есть \(x \ge 2.5\).
• Возведем обе части в квадрат: \(5-2x = (2x-5)^2 = 4x^2 - 20x + 25\).
• Приведем к квадратному уравнению: \(4x^2 - 18x + 20 = 0\). Разделим на 2: \(2x^2 - 9x + 10 = 0\).
• Найдем корни: \(x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(2)(10)}}{2(2)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{9 \pm 1}{4}\).
• Корни: \(x_1 = \frac{9+1}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\), \(x_2 = \frac{9-1}{4} = \frac{8}{4} = 2\).
• Проверим условие \(x \ge 2.5\). Корень \(x_1 = 2.5\) подходит. Корень \(x_2 = 2\) не подходит.
• Проверка корня \(x=2.5\): \(\sqrt{5-2(2.5)} = \sqrt{5-5} = \sqrt{0} = 0\). \(2(2.5)-5 = 5-5 = 0\). Равенство верно.
• Ответ: \(x=2.5\).
2. \[ \sqrt{9-4x}=4x-9 \]
• Дополнительное условие: \(4x-9 \ge 0\), то есть \(x \ge 2.25\).
• Заметим, что \(9-4x = -(4x-9)\).
• Тогда уравнение имеет вид \(\sqrt{-(4x-9)} = 4x-9\).
• Пусть \(y = 4x-9\). Тогда \(\sqrt{-y} = y\).
• Возведем обе части в квадрат: \(-y = y^2\).
• Приведем к квадратному уравнению: \(y^2 + y = 0\), \(y(y+1) = 0\).
• Корни: \(y_1 = 0\), \(y_2 = -1\).
• Подставляем обратно \(4x-9\):
• \(4x-9 = 0 \rightarrow 4x=9 \rightarrow x=2.25\).
• \(4x-9 = -1 \rightarrow 4x=8 \rightarrow x=2\).
• Проверим условие \(x \ge 2.25\). Корень \(x=2.25\) подходит. Корень \(x=2\) не подходит.
• Проверка корня \(x=2.25\): \(\sqrt{9-4(2.25)} = \sqrt{9-9} = \sqrt{0} = 0\). \(4(2.25)-9 = 9-9 = 0\). Равенство верно.
• Ответ: \(x=2.25\).

B4.

1. \[ 5\sqrt{x}=4x+1 \]
• Перенесем все в одну сторону: \(4x - 5\sqrt{x} + 1 = 0\).
• Сделаем замену: пусть \(y = \sqrt{x}\), тогда \(x=y^2\). Уравнение примет вид: \(4y^2 - 5y + 1 = 0\).
• Найдем корни: \(y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(4)(1)}}{2(4)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{8} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{8} = \frac{5 \pm 3}{8}\).
• Корни: \(y_1 = \frac{5+3}{8} = 1\), \(y_2 = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
• Так как \(y = \sqrt{x}\), то \(\(y \ge 0\)\). Оба корня подходят.
• Найдем \(x\):
• Если \(y=1\), то \(\sqrt{x}=1\), \(x=1^2=1\).
• Если \(y=\frac{1}{4}\), то \(\sqrt{x}=\frac{1}{4}\), \(x=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}\).
• Проверка:
• Для \(x=1\): \(5\sqrt{1} = 5\). \(4(1)+1 = 5\). Верно.
• Для \(x=\frac{1}{16}\): \(5\sqrt{\frac{1}{16}} = 5 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\). \(4(\frac{1}{16})+1 = \frac{4}{16}+1 = \frac{1}{4}+1 = \frac{5}{4}\). Верно.
• Ответ: \(x=1\), \(x=\frac{1}{16}\).
2. \[ 5\sqrt{x}-3x+2=0 \]
• Перенесем все в одну сторону: \(3x - 5\sqrt{x} - 2 = 0\).
• Сделаем замену: пусть \(y = \sqrt{x}\), тогда \(x=y^2\). Уравнение примет вид: \(3y^2 - 5y - 2 = 0\).
• Найдем корни: \(y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{5 \pm 7}{6}\).
• Корни: \(y_1 = \frac{5+7}{6} = \frac{12}{6} = 2\), \(y_2 = \frac{5-7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\).
• Так как \(y = \sqrt{x}\), то \(\(y \ge 0\)\). Корень \(y_1 = 2\) подходит. Корень \(y_2 = -\frac{1}{3}\) не подходит.
• Найдем \(x\):
• Если \(y=2\), то \(\sqrt{x}=2\), \(x=2^2=4\).
• Проверка:
• Для \(x=4\): \(5\sqrt{4}-3(4)+2 = 5(2)-12+2 = 10-12+2 = 0\). Верно.
• Ответ: \(x=4\).