B2. Найдите значение x, при которых производная функции y = (x - 2) / x^2 равна 0.

Решение:

1. Найдем производную функции \( y = \frac{x-2}{x^2} \).

Используем правило производной частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = x - 2 \) и \( v = x^2 \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = (x-2)' = 1 \)

\( v' = (x^2)' = 2x \)

Теперь подставим их в формулу:

\( y' = \frac{1 \cdot x^2 - (x-2) \cdot 2x}{(x^2)^2} \)

\( y' = \frac{x^2 - (2x^2 - 4x)}{x^4} \)

\( y' = \frac{x^2 - 2x^2 + 4x}{x^4} \)

\( y' = \frac{-x^2 + 4x}{x^4} \)

\( y' = \frac{-x(x-4)}{x^4} = \frac{-(x-4)}{x^3} = \frac{4-x}{x^3} \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти значения \( x \).

\( y' = 0 \)

\( \frac{4-x}{x^3} = 0 \)

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Числитель: \( 4 - x = 0 \) \( \Rightarrow x = 4 \).

Знаменатель: \( x^3 \neq 0 \) \( \Rightarrow x \neq 0 \).

Поскольку \( x = 4 \) не равно \( 0 \), это значение является решением.

Ответ: x = 4