б) В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы к боковым сторонам перпендикулярны друг другу. Найти AC: AB.

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы к боковым сторонам AE и CD перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке O.

Обозначим AO = 2x, OE = x, CO = 2y, OD = y. Так как AE и CD — медианы, то CE = BE = AB/2 и AD = BD = BC/2.

Рассмотрим треугольник AOC. ∠AOC = 90°, значит, по теореме Пифагора, $$AC^2 = AO^2 + CO^2 = (2x)^2 + (2y)^2 = 4x^2 + 4y^2$$.

Рассмотрим треугольник ABE. По теореме Пифагора, $$BE^2 = AB^2 - AE^2$$. AE = AO + OE = 2x + x = 3x. Значит, $$(AB/2)^2 = AB^2 - (3x)^2$$, $$AB^2/4 = AB^2 - 9x^2$$, $$9x^2 = AB^2 - AB^2/4 = (3/4)AB^2$$, $$x^2 = (3/36)AB^2 = (1/12)AB^2$$.

Аналогично из треугольника BCD: $$BC^2/4 = BC^2 - (3y)^2$$, $$9y^2 = (3/4)BC^2$$, $$y^2 = (1/12)BC^2$$.

Так как AB = BC, то $$x^2 = y^2 = (1/12)AB^2$$, следовательно, $$x^2 = y^2$$ и $$x = y$$.

Тогда $$AC^2 = 4x^2 + 4y^2 = 8x^2 = 8 cdot (1/12)AB^2 = (2/3)AB^2$$, $$AC = sqrt{rac{2}{3}} AB$$.

Следовательно, $$\frac{AC}{AB} = sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$.

Ответ: $$\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$