б) f(z) = sin(iz)

1. Найдем действительную и мнимую части функции: Пусть z = x + iy, тогда f(z) = sin(i(x+iy)) = sin(ix - y). Используем формулу: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b). Тогда f(z) = sin(ix)cos(-y) + cos(ix)sin(-y) = sin(ix)cos(y) - cos(ix)sin(y). Преобразуем sin(ix) и cos(ix) через гиперболические функции: sin(ix) = i sinh(x), cos(ix) = cosh(x). Тогда f(z) = i sinh(x)cos(y) - cosh(x)sin(y). Действительная часть: u(x, y) = -cosh(x)sin(y). Мнимая часть: v(x, y) = sinh(x)cos(y). 2. Проверим аналитичность функции: u(x, y) = -cosh(x)sin(y), v(x, y) = sinh(x)cos(y). u_x = ∂/∂x(-cosh(x)sin(y)) = -sinh(x)sin(y), u_y = ∂/∂y(-cosh(x)sin(y)) = -cosh(x)cos(y); v_x = ∂/∂x(sinh(x)cos(y)) = cosh(x)cos(y), v_y = ∂/∂y(sinh(x)cos(y)) = -sinh(x)sin(y). u_x = v_y и u_y = -v_x, следовательно, функция аналитична. 3. Найдем производную функции: f'(z) = d/dz(sin(iz)) = cos(iz) * d/dz(iz) = cos(iz) * i = i cos(iz).