а) f(z) = (z + 1)/(3i)

1. Найдем действительную и мнимую части функции: Пусть z = x + iy, тогда f(z) = [(x + iy) + 1] / (3i) = (x + 1 + iy) / (3i). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число (-3i): f(z) = [(x + 1 + iy)(-3i)] / [(-3i)(3i)] = [-3i(x+1) - 3i^2y] / (-9). Учитывая, что i^2 = -1, получаем: f(z) = [-3i(x+1) - 3(-1)y] / (-9) = [-3i(x+1) + 3y] / (-9) = (3y - 3ix - 3i) / (-9). Разделяя на действительную и мнимую части: f(z) = (-y/3) + i((x+1)/3). Действительная часть: u(x, y) = -y/3. Мнимая часть: v(x, y) = (x + 1)/3. 2. Проверим аналитичность функции: Для аналитичности должны выполняться условия Коши-Римана: u_x = v_y и u_y = -v_x. u(x, y) = -y/3, v(x, y) = (x + 1)/3. u_x = ∂/∂x(-y/3) = 0, u_y = ∂/∂y(-y/3) = -1/3; v_x = ∂/∂x((x+1)/3) = 1/3, v_y = ∂/∂y((x+1)/3) = 0. u_x ≠ v_y, следовательно, функция не аналитична. 3. Так как функция не аналитична, производную найти нельзя.