Аналіз розв'язань

1. Чи можна було скоротити $$x^2 + 6ix + 3$$?

Ні, вираз $$x^2 + 6ix + 3$$ не можна скоротити, оскільки в нього немає раціональних коренів. Також, вираз містить уявну одиницю $$i$$, що робить його комплексним, і стандартні методи скорочення квадратних тричленів не застосовні безпосередньо.

2. Запишіть правильну відповідь.

Для розв'язання рівняння $$\frac{x^2+6}{x+3} = \frac{x+6}{1}$$, перемножимо обидві частини на $$(x+3)$$:

$$x^2 + 6 = (x + 6)(x + 3)$$ $$x^2 + 6 = x^2 + 3x + 6x + 18$$ $$x^2 + 6 = x^2 + 9x + 18$$

Перенесемо все в одну сторону:

$$0 = 9x + 12$$

Розв'яжемо для $$x$$:

$$9x = -12$$ $$x = \frac{-12}{9} = -\frac{4}{3}$$

Перевіримо розв'язок, підставивши $$x = -\frac{4}{3}$$ в початкове рівняння:

$$\frac{\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + 6}{-\frac{4}{3} + 3} = \frac{-\frac{4}{3} + 6}{1}$$ $$\frac{\frac{16}{9} + 6}{\frac{5}{3}} = -\frac{4}{3} + 6$$ $$\frac{\frac{16 + 54}{9}}{\frac{5}{3}} = \frac{-4 + 18}{3}$$ $$\frac{\frac{70}{9}}{\frac{5}{3}} = \frac{14}{3}$$ $$\frac{70}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{14}{3}$$ $$\frac{70 \cdot 3}{9 \cdot 5} = \frac{210}{45} = \frac{14 \cdot 15}{3 \cdot 15} = \frac{14}{3}$$

Отже, $$x = -\frac{4}{3}$$ є правильним розв'язком.

Відповідь: $$x = -\frac{4}{3}$$