ABCD - куб. Найдите угол между прямыми BC1 и DB1.

Решение:

Для нахождения угла между прямыми \( BC_1 \) и \( DB_1 \) рассмотрим прямоугольный параллелепипед. Угол между этими диагоналями равен углу между векторами \( \vec{BC_1} \) и \( \vec{DB_1} \).

Пусть ребро куба равно \( a \). Введём систему координат:

• \( B \) — начало координат (0, 0, 0)
• \( C \) — \( (a, 0, 0) \)
• \( B_1 \) — \( (0, 0, a) \)
• \( D \) — \( (a, a, 0) \)
• \( C_1 \) — \( (a, 0, a) \)
• \( D_1 \) — \( (a, a, a) \)

Вектор \( \vec{BC_1} \) = \( C_1 - B = (a, 0, a) \).

Вектор \( \vec{DB_1} \) = \( B_1 - D = (0 - a, 0 - a, a - 0) = (-a, -a, a) \).

Косинус угла \( \alpha \) между векторами находится по формуле:

\[ \cos \alpha = \frac{\vec{BC_1} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{BC_1}| \cdot |\vec{DB_1}|} \]

Найдём скалярное произведение:

\[ \vec{BC_1} \cdot \vec{DB_1} = (a)(-a) + (0)(-a) + (a)(a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0 \]

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

Следовательно, угол между прямыми \( BC_1 \) и \( DB_1 \) равен 90°.

Ответ: 90°.