3. ABCD - равнобедренная трапеция. Диагональ АС перпендикулярна боковой стороне. Известно, что боковая сторона в два раза меньше основания. Найдите углы трапеции.

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, AC ⊥ CD и AD = 2CD.

Т.к. трапеция равнобедренная, то AB = CD, значит, AD = 2AB. Проведем высоту BH на основание AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем AB = CD, значит, AD = 2AB. AH = (AD - BC) / 2 = (2AB - AB) / 2 = AB / 2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, AH = AB / 2, значит, ∠ABH = 30°. Тогда ∠A = 90° - ∠ABH = 90° - 30° = 60°.

Т.к. трапеция равнобедренная, то ∠D = ∠A = 60°.

Т.к. углы при боковой стороне в сумме составляют 180°, то ∠C = ∠B = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°.

Ответ: углы трапеции равны 60°, 120°, 120° и 60°.