А6. Упростите выражение $$ \left(\frac{\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}}{1+\sin\alpha}\right)^2 $$

Решение:

Рассмотрим числитель дроби:

\( (\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})^2 = \sin^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2} \)

Используя основные тригонометрические тождества \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) и \( 2\sin x \cos x = \sin 2x \), получим:

\( (\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2})^2 = 1 + \sin\alpha \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$ \(\left\)\(\frac{1+\sin\alpha}{1+\sin\alpha}\right\)^2 = 1^2 = 1 \)

Ответ: 1.