А2 Значение какого из выражений является числом рациональным?

Решение:

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби \( \frac{m}{n} \), где \( m \) — целое число, а \( n \) — натуральное число. Проверим каждое выражение:

1. \( (\sqrt{6}-3)(\sqrt{6}+3) \) — это разность квадратов. \( (\sqrt{6}-3)(\sqrt{6}+3) = (\sqrt{6})^2 - 3^2 = 6 - 9 = -3 \). Число -3 является рациональным.
2. \( \frac{(\sqrt{5})^2}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} \). Так как \( \sqrt{10} \) — иррациональное число, то и вся дробь иррациональна.
3. \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{15} \). Число \( \sqrt{15} \) — иррациональное.
4. \( (\sqrt{6}-3)^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 3 + 3^2 = 6 - 6\sqrt{6} + 9 = 15 - 6\sqrt{6} \). Это иррациональное число.

Ответ: 1