A15. Проводится серия одинаковых независимых испытаний до первого успеха. Вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна 0,2. Найдите вероятность события: а) «потребуется провести три испытания»; б) «потребуется провести четыре испытания».

Решение:

Это задача на геометрическое распределение. Вероятность успеха в одном испытании \( p = 0.2 \). Вероятность неудачи (неуспеха) \( q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8 \).

а) Потребуется провести три испытания.

Это означает, что первые два испытания были неудачными, а третье — успешным.

Вероятность события:

\[ P(X=3) = q^{3-1} · p = q^2 · p = (0.8)^2 · 0.2 = 0.64 · 0.2 = 0.128 \]

б) Потребуется провести четыре испытания.

Это означает, что первые три испытания были неудачными, а четвёртое — успешным.

Вероятность события:

\[ P(X=4) = q^{4-1} · p = q^3 · p = (0.8)^3 · 0.2 = 0.512 · 0.2 = 0.1024 \]

Ответ: а) \( 0.128 \); б) \( 0.1024 \).