A14. В турнире по мини-футболу участвуют 6 команд, среди них команда «Звёздочка». Каждая команда должна сыграть один матч со всеми другими командами. Перед началом каждого футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Найдите вероятность того, что: а) команда «Звёздочка» выиграет жребий только в первой и в последней из своих игр; б) команда «Звёздочка» выиграет жребий в трёх последних своих играх.

Решение:

В турнире участвуют 6 команд. Каждая команда играет с 5 другими командами. Команда «Звёздочка» сыграет 5 матчей.

Вероятность выигрыша жребия в одном матче равна \( p = 0.5 \), а вероятность проигрыша жребия равна \( q = 0.5 \).

а) Команда «Звёздочка» выиграет жребий только в первой и в последней из своих игр.

Это означает, что команда выиграет жребий в 1-м матче, проиграет в 2-м, 3-м, 4-м матчах и выиграет в 5-м матче. Вероятность этого события:

\[ P(1 \text{ и } 5) = p · q · q · q · p = p^2 · q^3 = (0.5)^2 · (0.5)^3 = (0.5)^5 = \frac{1}{32} \]

б) Команда «Звёздочка» выиграет жребий в трёх последних своих играх.

Это означает, что команда выиграет жребий в 3-м, 4-м и 5-м матчах. Проигрыш или выигрыш в первых двух матчах не имеет значения.

Вероятность выигрыша в 3-м матче = 0.5

Вероятность выигрыша в 4-м матче = 0.5

Вероятность выигрыша в 5-м матче = 0.5

Вероятность выигрыша жребия в трёх последних играх:

\[ P(\text{3 последние}) = 0.5 · 0.5 · 0.5 = (0.5)^3 = \frac{1}{8} \]

Ответ: а) \( \frac{1}{32} \); б) \( \frac{1}{8} \).