А10. Решить уравнение: x + √x = 2(x - 1)

Решение:

1. Перенесём все члены в одну сторону: \( x + \sqrt{x} - 2(x-1) = 0 \)
2. \( x + \sqrt{x} - 2x + 2 = 0 \)
3. \( -x + \sqrt{x} + 2 = 0 \)
4. \( x - \sqrt{x} - 2 = 0 \)
5. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \sqrt{x} \), тогда \( y^2 = x \). Так как \( \sqrt{x} \) определён для \( x \ge 0 \) и \( \sqrt{x} ≥ 0 \), то \( y ≥ 0 \).
6. Уравнение примет вид: \( y^2 - y - 2 = 0 \).
7. Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).
8. \( y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2 \)
9. \( y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1-3}{2} = -1 \)
10. Так как \( y ≥ 0 \), то \( y = 2 \) является единственным решением.
11. Вернёмся к замене: \( \sqrt{x} = 2 \).
12. Возведём обе части в квадрат: \( x = 2^2 = 4 \).

Ответ: 4.