A1. Решите систему уравнений: a) {y=2x+5, 2x+3y=31; б) {5x-7y=-24, x=-3y+4; в) {2x+5y=-8, 2x+3y=-4; г) {-3x+7y=29, 6x+5y=13; д) {3x+7y=-5, 5x+4y=7.

Решение систем линейных уравнений:

Вариант 1

• а)
  1. Подставим первое уравнение во второе: \( 2x + 3(2x+5) = 31 \)
  2. \( 2x + 6x + 15 = 31 \)
  3. \( 8x = 16 \)
  4. \( x = 2 \)
  5. Найдем y: \( y = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9 \)
  6. Ответ: \( x=2, y=9 \)
• б)
  1. Выразим x из второго уравнения: \( x = -3y + 4 \)
  2. Подставим в первое: \( 5(-3y+4) - 7y = -24 \)
  3. \( -15y + 20 - 7y = -24 \)
  4. \( -22y = -44 \)
  5. \( y = 2 \)
  6. Найдем x: \( x = -3(2) + 4 = -6 + 4 = -2 \)
  7. Ответ: \( x=-2, y=2 \)
• в)
  1. Выразим y из второго уравнения: \( 2x + 3y = -4 ightarrow 3y = -4 - 2x ightarrow y = \frac{-4-2x}{3} \)
  2. Подставим в первое: \( 2x + 5(\frac{-4-2x}{3}) = -8 \)
  3. \( 2x + \frac{-20-10x}{3} = -8 \)
  4. Умножим на 3: \( 6x - 20 - 10x = -24 \)
  5. \( -4x = -4 \)
  6. \( x = 1 \)
  7. Найдем y: \( y = \frac{-4-2(1)}{3} = \frac{-6}{3} = -2 \)
  8. Ответ: \( x=1, y=-2 \)
• г)
  1. Выразим y из первого уравнения: \( -3x + 7y = 29 ightarrow 7y = 29 + 3x ightarrow y = \frac{29+3x}{7} \)
  2. Подставим во второе: \( 6x + 5(\frac{29+3x}{7}) = 13 \)
  3. \( 6x + \frac{145+15x}{7} = 13 \)
  4. Умножим на 7: \( 42x + 145 + 15x = 91 \)
  5. \( 57x = 91 - 145 \)
  6. \( 57x = -54 \)
  7. \( x = -\frac{54}{57} = -\frac{18}{19} \)
  8. Найдем y: \( y = \frac{29+3(-\frac{18}{19})}{7} = \frac{29 - \frac{54}{19}}{7} = \frac{\frac{29 imes 19 - 54}{19}}{7} = \frac{\frac{551-54}{19}}{7} = \frac{497}{19 imes 7} = \frac{71}{19} \)
  9. Ответ: \( x=-\frac{18}{19}, y=\frac{71}{19} \)
• д)
  1. Выразим y из первого уравнения: \( 3x + 7y = -5 ightarrow 7y = -5 - 3x ightarrow y = \frac{-5-3x}{7} \)
  2. Подставим во второе: \( 5x + 4(\frac{-5-3x}{7}) = 7 \)
  3. \( 5x + \frac{-20-12x}{7} = 7 \)
  4. Умножим на 7: \( 35x - 20 - 12x = 49 \)
  5. \( 23x = 69 \)
  6. \( x = 3 \)
  7. Найдем y: \( y = \frac{-5-3(3)}{7} = \frac{-5-9}{7} = \frac{-14}{7} = -2 \)
  8. Ответ: \( x=3, y=-2 \)