a) y = x^3/3 - 8x^2 + 15x - 32;

Решение:

Для данной функции \( y = \frac{x^3}{3} - 8x^2 + 15x - 32 \), найдём её производную, чтобы определить точки экстремума и интервалы монотонности.

1. Найдём производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - 8x^2 + 15x - 32\right) \] \[ y' = \frac{3x^2}{3} - 16x + 15 \] \[ y' = x^2 - 16x + 15 \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( x^2 - 16x + 15 = 0 \)
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196 \).
4. Найдём корни: \( x_1 = \frac{16 - \sqrt{196}}{2} = \frac{16 - 14}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{16 + \sqrt{196}}{2} = \frac{16 + 14}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).
5. Определим интервалы монотонности и точки экстремума. На интервале \( (-\infty, 1) \) \( y' > 0 \) (функция возрастает). На интервале \( (1, 15) \) \( y' < 0 \) (функция убывает). На интервале \( (15, \infty) \) \( y' > 0 \) (функция возрастает).
6. Следовательно, при \( x = 1 \) — локальный максимум, при \( x = 15 \) — локальный минимум.

Ответ: Точки экстремума: локальный максимум при \( x = 1 \), локальный минимум при \( x = 15 \). Функция возрастает на \( (-\infty, 1) \) и \( (15, \infty) \), убывает на \( (1, 15) \).