Задача 3

а)

Дано: угол $$S$$, точки $$A, M$$ на стороне $$SA$$, точки $$B, N$$ на стороне $$SB$$. $$SA = a$$, $$SB = b$$, $$AM = m$$, $$BN = n$$. $$a : b = m : n$$.

Доказать: $$AB \parallel MN$$

Решение:

Рассмотрим отношение $$\frac{SA}{SB} = \frac{a}{b}$$. Также дано, что $$\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$$. Следовательно, $$\frac{SA}{SB} = \frac{AM}{BN}$$. Найдем отношение $$\frac{SM}{SN}$$. $$SM = SA + AM = a + m$$, $$SN = SB + BN = b + n$$. Тогда $$\frac{SM}{SN} = \frac{a + m}{b + n}$$. Преобразуем пропорцию $$\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$$. Отсюда $$an = bm$$. Рассмотрим выражение $$\frac{a + m}{b + n}$$. Домножим числитель и знаменатель на $$n$$:

$$ \frac{a + m}{b + n} = \frac{(a + m)n}{(b + n)n} = \frac{an + mn}{bn + nn} $$ Заменим $$an$$ на $$bm$$: $$ \frac{bm + mn}{bn + nn} = \frac{m(b + n)}{n(b + n)} = \frac{m}{n} $$ Получили, что $$\frac{SM}{SN} = \frac{a}{b}$$. Таким образом, $$\frac{SA}{SB} = \frac{SM}{SN}$$. Следовательно, по теореме, обратной теореме Фалеса, $$AB \parallel MN$$.

Ответ: Да, прямые $$AB$$ и $$MN$$ параллельны.

б)

Дано: $$\triangle ABC$$, $$AB = 7$$, $$AC = 3$$, $$BC = 5$$. Точка $$K$$ на продолжении $$BC$$ за $$C$$, $$\angle KAC = \angle ABC$$.

Найти: $$KC$$.

Решение:

Обозначим $$\angle KAC = \angle ABC = \alpha$$. Рассмотрим $$\triangle ABC$$ и $$\triangle AKC$$. У них $$\angle C$$ общий. Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle AKC$$ по двум углам ($$\angle KAC = \angle ABC$$ и $$\angle C$$ - общий).

Из подобия следует:

$$ \frac{AC}{KC} = \frac{BC}{AC} = \frac{AB}{AK} $$

Нас интересует $$\frac{AC}{KC} = \frac{BC}{AC}$$. Подставим значения: $$\frac{3}{KC} = \frac{5}{3}$$.

Отсюда $$KC = \frac{3 \cdot 3}{5} = \frac{9}{5} = 1.8$$

Ответ: $$KC = 1.8$$