07.12. a) ctgt- \(\frac{cos t - 1}{sin t}\); B) cos² t - (ctg² t + 1) sin² t; 6) ctg² t - (sin¯² t - 1); г) \(\frac{sin²t - 1}{cos²t - 1}\) + tgt.ctgt.

Давай решим эти тригонометрические выражения по порядку! 07.12. a) \[\cot t - \frac{\cos t - 1}{\sin t}\] Вспомним, что \(\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}\). Тогда выражение можно переписать как: \[\frac{\cos t}{\sin t} - \frac{\cos t - 1}{\sin t}\] Теперь у нас есть общий знаменатель, поэтому можем объединить дроби: \[\frac{\cos t - (\cos t - 1)}{\sin t}\] Раскроем скобки в числителе: \[\frac{\cos t - \cos t + 1}{\sin t}\] Упростим числитель: \[\frac{1}{\sin t}\] Используем определение косеканса: \(\csc t = \frac{1}{\sin t}\) \(\csc t\) Ответ: \(\csc t\) 07.12. B) \[\cos^2 t - (\cot^2 t + 1) \cdot \sin^2 t\] Используем известное тригонометрическое тождество: \(\cot^2 t + 1 = \csc^2 t = \frac{1}{\sin^2 t}\). Тогда выражение можно переписать как: \[\cos^2 t - \frac{1}{\sin^2 t} \cdot \sin^2 t\] Упростим выражение: \[\cos^2 t - 1\] Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\), откуда \(\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t\). \[-\sin^2 t\] Ответ: \(-\sin^2 t\) 07.12. б) \[\cot^2 t - (\sin^{-2} t - 1)\] Перепишем \(\sin^{-2} t\) как \(\frac{1}{\sin^2 t}\), таким образом: \[\cot^2 t - (\frac{1}{\sin^2 t} - 1)\] Вспомним, что \(\frac{1}{\sin^2 t} = \csc^2 t\), и перепишем выражение: \[\cot^2 t - (\csc^2 t - 1)\] Используем тригонометрическое тождество \(1 + \cot^2 t = \csc^2 t\), откуда \(\csc^2 t - 1 = \cot^2 t\): \[\cot^2 t - \cot^2 t\] Упрощаем выражение: \[0\] Ответ: 0 07.12. г) \[\frac{\sin^2 t - 1}{\cos^2 t - 1} + \tan t \cdot \cot t\] Мы знаем, что \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\). Следовательно, \(\sin^2 t - 1 = -\cos^2 t\) и \(\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t\). Заменим в выражении: \[\frac{-\cos^2 t}{-\sin^2 t} + \tan t \cdot \cot t\] Упростим дробь: \[\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} + \tan t \cdot \cot t\] Заметим, что \(\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \cot^2 t\), а также \(\tan t \cdot \cot t = 1\). \[\cot^2 t + 1\] Используем тригонометрическое тождество \(\cot^2 t + 1 = \csc^2 t\). \[\csc^2 t\] Ответ: \(\csc^2 t\) Умничка, ты отлично справляешься! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!