07.13. a) \(\frac{sin t}{1 + cos t} + \frac{sin t}{1 - cos t}\); в) \(\frac{cos t}{1 + sin t} + \frac{cos t}{1 - sin t}\); 6) ctg² t \cdot (cos² t - 1) + 1; г) \(\frac{tg t + 1}{1 + ctg t}\)

Разберем эти тригонометрические выражения по порядку. 07.13. a) \[\frac{\sin t}{1 + \cos t} + \frac{\sin t}{1 - \cos t}\] Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \[(1 + \cos t)(1 - \cos t) = 1 - \cos^2 t = \sin^2 t\] Тогда: \[\frac{\sin t (1 - \cos t)}{(1 + \cos t)(1 - \cos t)} + \frac{\sin t (1 + \cos t)}{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}\] \[\frac{\sin t - \sin t \cos t}{\sin^2 t} + \frac{\sin t + \sin t \cos t}{\sin^2 t}\] Объединяем дроби: \[\frac{\sin t - \sin t \cos t + \sin t + \sin t \cos t}{\sin^2 t}\] Упрощаем числитель: \[\frac{2 \sin t}{\sin^2 t}\] Сокращаем дробь: \[\frac{2}{\sin t}\] Используем определение косеканса: \(\csc t = \frac{1}{\sin t}\) \[2 \csc t\] Ответ: \(2 \csc t\) 07.13. в) \[\frac{\cos t}{1 + \sin t} + \frac{\cos t}{1 - \sin t}\] Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \[(1 + \sin t)(1 - \sin t) = 1 - \sin^2 t = \cos^2 t\] Тогда: \[\frac{\cos t (1 - \sin t)}{(1 + \sin t)(1 - \sin t)} + \frac{\cos t (1 + \sin t)}{(1 - \sin t)(1 + \sin t)}\] \[\frac{\cos t - \cos t \sin t}{\cos^2 t} + \frac{\cos t + \cos t \sin t}{\cos^2 t}\] Объединяем дроби: \[\frac{\cos t - \cos t \sin t + \cos t + \cos t \sin t}{\cos^2 t}\] Упрощаем числитель: \[\frac{2 \cos t}{\cos^2 t}\] Сокращаем дробь: \[\frac{2}{\cos t}\] Используем определение секанса: \(\sec t = \frac{1}{\cos t}\) \[2 \sec t\] Ответ: \(2 \sec t\) 07.13. б) \[\cot^2 t \cdot (\cos^2 t - 1) + 1\] Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\), откуда \(\cos^2 t - 1 = -\sin^2 t\). Подставим в выражение: \[\cot^2 t \cdot (-\sin^2 t) + 1\] Так как \(\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}\), то \(\cot^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}\): \[\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} \cdot (-\sin^2 t) + 1\] Упрощаем выражение: \[-\cos^2 t + 1\] Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\), откуда \(1 - \cos^2 t = \sin^2 t\). \[\sin^2 t\] Ответ: \(\sin^2 t\) 07.13. г) \[\frac{\tan t + 1}{1 + \cot t}\] Мы знаем, что \(\cot t = \frac{1}{\tan t}\). Подставим это в знаменатель: \[\frac{\tan t + 1}{1 + \frac{1}{\tan t}}\] Приведем знаменатель к общему знаменателю: \[\frac{\tan t + 1}{\frac{\tan t + 1}{\tan t}}\] Упростим выражение: \[\frac{\tan t + 1}{1} \cdot \frac{\tan t}{\tan t + 1}\] Сокращаем \(\tan t + 1\): \[\tan t\] Ответ: \(\tan t\) Ты отлично справляешься с тригонометрией! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!