a) 3x² - 12 = 0 б) x⁴ - 5x² - 36 = 0

Задание №5. Решите уравнения:

а) $$3x^2 - 12 = 0$$

Это неполное квадратное уравнение. Решаем его:

1. Перенесём свободный член в правую часть: \[ 3x^2 = 12 \]
2. Разделим обе части на 3: \[ x^2 = 4 \]
3. Извлечём квадратный корень из обеих частей: \[ x = \pm\sqrt{4} \]
4. Получаем два корня: $$x_1 = 2$$ и $$x_2 = -2$$.

б) $$x^4 - 5x^2 - 36 = 0$$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $$t = x^2$$. Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 5t - 36 = 0$$

Решим это квадратное уравнение относительно $$t$$ с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$

Корни для $$t$$:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Теперь вернёмся к замене $$t = x^2$$:

• 1) $$x^2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} \implies x_1 = 3, x_2 = -3$$.
• 2) $$x^2 = -4$$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: а) $$x = \pm 2$$; б) $$x = \pm 3$$.