90. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 80°, угол CAD равен 34°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180°.

\( \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \)

\( 80^\circ + \angle ADC = 180^\circ \)

\( \angle ADC = 180^\circ - 80^\circ \)

\( \angle ADC = 100^\circ \)

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол ABD опирается на дугу AD, а угол ACD также опирается на дугу AD. Следовательно, \( \angle ABD = \angle ACD \).

Угол CAD равен 34°. Угол CBD также опирается на дугу CD, поэтому \( \angle CBD = \angle CAD = 34^\circ \).

\( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \)

\( 80^\circ = \angle ABD + 34^\circ \)

\( \angle ABD = 80^\circ - 34^\circ \)

\( \angle ABD = 46^\circ \)

Ответ: 46.