Контрольные задания > 9. В треугольнике MNР точка К лежит на стороне MN, причём угол NKP острый. Докажите, что КР < МР.
Вопрос:

9. В треугольнике MNР точка К лежит на стороне MN, причём угол NKP острый. Докажите, что КР < МР.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

Условие задачи содержит неполные данные. Точка K лежит на стороне MN. Угол NKP острый. Нужно доказать, что KP < MP. Однако, из рисунка видно, что K лежит на MN, а P - это вершина треугольника.

Если K лежит на стороне MN, то KP — это отрезок от вершины P к точке K на стороне MN. MP — это сторона треугольника.

Если угол NKP острый, это означает, что угол ∠NKP < 90°.

Давайте предположим, что P — это вершина треугольника, а MN — основание. K — точка на основании MN.

Тогда KP — это высота (или наклонная), проведенная из вершины P к основанию MN.

MP — это боковая сторона треугольника PMN.

Чтобы доказать KP < MP, нам нужно использовать свойства треугольников.

В треугольнике PKM, угол ∠PKM является прямым, если KP — высота. Тогда MP — гипотенуза, и MP > KP.

Однако, в условии сказано, что угол NKP острый, а не прямой.

Давайте рассмотрим треугольник PKM. Сторона MP противолежит углу ∠PKM. Сторона KP противолежит углу ∠KMP.

Если ∠NKP острый, то ∠PKM = 180° - ∠NKP (если K лежит между N и M, и P - вершина). Если ∠NKP острый, то ∠PKM тупой.

Если ∠NKP острый, и K лежит на MN, то это означает, что угол ∠PKM может быть как острым, так и тупым, или прямым, в зависимости от положения точки K и вершины P.

Предположим, что P — вершина, а MN — основание. K — точка на MN.

Если ∠NKP — острый, то ∠PKM = 180° - ∠NKP. Если ∠NKP < 90°, то ∠PKM > 90°. То есть, ∠PKM — тупой угол.

Рассмотрим треугольник PKM. Угол ∠PKM тупой. MP — сторона, противолежащая этому углу.

В тупоугольном треугольнике сторона, противолежащая тупому углу, является наибольшей стороной.

Следовательно, MP > KP.

Это верно, если ∠PKM является тупым углом.

Если K находится между N и M, и ∠NKP — острый, то ∠PKM = 180° - ∠NKP. Если ∠NKP острый, то 0° < ∠NKP < 90°.

Тогда 90° < ∠PKM < 180°. То есть ∠PKM — тупой.

В треугольнике PKM, сторона MP противолежит углу ∠PKM. Следовательно, MP является наибольшей стороной в треугольнике PKM.

Значит, MP > KP.

Условие «угол NKP острый» гарантирует, что в треугольнике PKM, угол ∠PKM является тупым (если K лежит между N и M).

В треугольнике PKM, MP — сторона, противолежащая углу ∠PKM. KP — сторона, противолежащая углу ∠KMP.

Так как ∠PKM является тупым углом (больше 90°), то сторона MP, противолежащая ему, является самой большой стороной в треугольнике PKM.

Следовательно, MP > KP.

Обоснование:

  1. Пусть K — точка на стороне MN треугольника PMN.
  2. Угол ∠NKP является острым (∠NKP < 90°).
  3. Так как K лежит на отрезке MN, углы ∠NKP и ∠PKM являются смежными, то есть ∠NKP + ∠PKM = 180°.
  4. Из этого следует, что ∠PKM = 180° - ∠NKP.
  5. Поскольку ∠NKP < 90°, то 180° - ∠NKP > 90°. Следовательно, ∠PKM является тупым углом (∠PKM > 90°).
  6. Рассмотрим треугольник PKM. Сторона MP противолежит углу ∠PKM, а сторона KP противолежит углу ∠KMP.
  7. В тупоугольном треугольнике сторона, противолежащая тупому углу, является наибольшей.
  8. Следовательно, MP > KP.

Финальный ответ:

Доказано.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие