10. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.

Решение:

• Пусть стороны равнобедренного треугольника равны $$a$$, $$a$$, $$b$$.
• Периметр $$P = 2a + b = 77$$ см.
• Разность между сторонами равна 17 см. Возможны два случая:
• Случай 1: Основание больше боковой стороны.
• $$b = a + 17$$.
• Подставим во второе уравнение:
• $$2a + (a + 17) = 77$$
• $$3a + 17 = 77$$
• $$3a = 77 - 17$$
• $$3a = 60$$
• $$a = 20$$ см.
• Тогда $$b = a + 17 = 20 + 17 = 37$$ см.
• Стороны треугольника: 20 см, 20 см, 37 см.
• Проверим, является ли такой треугольник тупоугольным. В тупоугольном треугольнике один угол больше 90°. Наибольший угол лежит против наибольшей стороны. Наибольшая сторона — 37 см.
• По теореме косинусов: $$a^2 + a^2 = b^2 - 2a^2 imes rac{\cos C}{b}$$
• \[ 37^2 = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cos(\angle B) \]
• \[ 1369 = 400 + 400 - 800 \cos(\angle B) \]
• \[ 1369 = 800 - 800 \cos(\angle B) \]
• \[ 569 = -800 \cos(\angle B) \]
• \[ \cos(\angle B) = -\frac{569}{800} < 0 \]
• Следовательно, угол ∠B тупой. Этот случай подходит.
• Случай 2: Боковая сторона больше основания.
• $$a = b + 17$$.
• Подставим во второе уравнение:
• $$2(b + 17) + b = 77$$
• $$2b + 34 + b = 77$$
• $$3b + 34 = 77$$
• $$3b = 77 - 34$$
• $$3b = 43$$
• $$b = \frac{43}{3}$$ см.
• Тогда $$a = b + 17 = \frac{43}{3} + 17 = \frac{43 + 51}{3} = \frac{94}{3}$$ см.
• Стороны треугольника: $$\frac{94}{3}$$ см, $$\frac{94}{3}$$ см, $$\frac{43}{3}$$ см.
• Проверим, является ли такой треугольник тупоугольным. Наибольшая сторона — $$\frac{94}{3}$$ см.
• \[ (\frac{94}{3})^2 = (\frac{94}{3})^2 + (\frac{43}{3})^2 - 2 \cdot \frac{94}{3} \cdot \frac{43}{3} \cos(\angle B) \]
• \[ 0 = (\frac{43}{3})^2 - 2 \cdot \frac{94}{3} \cdot \frac{43}{3} \cos(\angle B) \]
• \[ 0 = \frac{1849}{9} - \frac{8084}{9} \cos(\angle B) \]
• \[ \frac{8084}{9} \cos(\angle B) = \frac{1849}{9} \]
• \[ \cos(\angle B) = \frac{1849}{8084} > 0 \]
• Следовательно, угол ∠B острый. Углы при основании также острые. Этот случай не подходит, так как треугольник остроугольный.

Ответ: Стороны треугольника равны 20 см, 20 см и 37 см.