9. В таблице показано, как изменялся заряд конденсатора в колебательном контуре с течением времени. Вычислите индуктивность катушки, если емкость конденсатора в контуре равна 100 пФ.

Решение:

Задача описывает колебательный контур, где заряд конденсатора меняется со временем. Для нахождения индуктивности катушки, зная емкость и данные из таблицы, необходимо воспользоваться формулой Томсоновской частоты или периодом колебаний.

Формула Томсона:

• \[ T = 2\pi\sqrt{LC} \]

Где:

• T — период колебаний
• L — индуктивность катушки
• C — емкость конденсатора

Из таблицы видно, что заряд меняется от максимального значения до нуля за некоторое время. Период колебаний — это время, за которое колебания повторяются. Половина периода — это время, за которое заряд меняется от максимального значения до нуля (или от нуля до максимального по модулю).

Рассмотрим значения из таблицы:

• Время t = 10⁻⁶ с, заряд q = 2,13⋅10⁻⁶ Кл (максимальное значение, если принять его за начальное).
• Время t = 12⋅10⁻⁶ с, заряд q = 0.

Время, за которое заряд изменился от максимального до нуля, составляет:

• \[ \Delta t = (12 - 10) \cdot 10^{-6} \text{ с} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ с} \]

Это соответствует четверти периода колебаний. Значит, полный период T равен:

• \[ T = 4 \cdot \Delta t = 4 \cdot 2 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 8 \cdot 10^{-6} \text{ с} \]

Теперь, зная период T и емкость C, найдем индуктивность L.

• C = 100 пФ = 100⋅10⁻¹² Ф = 10⁻¹⁰ Ф

Из формулы Томсона выразим L:

• \[ T^2 = (2\pi\sqrt{LC})^2 \]
• \[ T^2 = 4\pi^2 LC \]
• \[ L = \frac{T^2}{4\pi^2 C} \]

Подставляем значения:

• \[ L = \frac{(8 \cdot 10^{-6} \text{ с})^2}{4\pi^2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}} \]
• \[ L = \frac{64 \cdot 10^{-12}}{4\pi^2 \cdot 10^{-10}} \]
• \[ L = \frac{16 \cdot 10^{-2}}{\pi^2} \text{ Гн} \]

Принимая \[ \pi^2 \approx 9.87 \text{ (или } \approx 10 \text{ для упрощения)} \]

• \[ L \approx \frac{16 \cdot 10^{-2}}{9.87} \text{ Гн} \approx 1.62 \cdot 10^{-2} \text{ Гн} \]

Переведем в миллигенри:

• \[ L \approx 16.2 \text{ мГн} \]

Если использовать ≈ 3, то ² ≈ 10. Тогда:

• \[ L = \frac{16 \cdot 10^{-2}}{10} \text{ Гн} = 1.6 \cdot 10^{-2} \text{ Гн} = 16 \text{ мГн} \]

Проверим другие точки: t=8, q=0; t=6, q=-2.13. Это также соответствует четверти периода, если t=8 это ноль заряда.

Посмотрим на t=16, q=0 и t=18, q=2.13. Разница в 2*10^-6с. Это также четверть периода. Значит период T = 8*10^-6с.

Тогда L = 16 мГн.

Ответ: 16 мГн