9. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона соответственно равны 6 и 20см. Найти биссектрису угла при основании треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник \( ABC \), где \( AB = BC = 20 \) см, а основание \( AC = 6 \) см. Нам нужно найти биссектрису угла при основании, например, биссектрису \( AL \) угла \( A \).

1. Проведём высоту \( BH \) из вершины \( B \) к основанию \( AC \). Так как треугольник равнобедренный, высота \( BH \) является также и медианой, и биссектрисой. \( AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABH \). По теореме Пифагора найдём высоту \( BH \):

\( BH^2 = AB^2 - AH^2 \)

\( BH^2 = 20^2 - 3^2 = 400 - 9 = 391 \)

\( BH = \sqrt{391} \) см.

Теперь рассмотрим треугольник \( ABC \) и биссектрису \( AL \) угла \( A \). По теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса делит противоположную сторону \( BC \) пропорционально прилежащим сторонам.

\( \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \)

Пусть \( BL = 10x \) и \( LC = 3x \). Тогда \( BC = BL + LC = 10x + 3x = 13x \).

Мы знаем, что \( BC = 20 \) см, поэтому \( 13x = 20 \), откуда \( x = \frac{20}{13} \).

\( BL = 10 \cdot \frac{20}{13} = \frac{200}{13} \) см.

\( LC = 3 \cdot \frac{20}{13} = \frac{60}{13} \) см.

Теперь найдём длину биссектрисы \( AL \) по формуле:

\( AL^2 = AB \cdot AC - BL \cdot LC \)

\( AL^2 = 20 \cdot 6 - \frac{200}{13} \cdot \frac{60}{13} \)

\( AL^2 = 120 - \frac{12000}{169} \)

\( AL^2 = \frac{120 \cdot 169 - 12000}{169} \)

\( 120 \cdot 169 = 120 \cdot (170 - 1) = 20400 - 120 = 20280 \)

\( AL^2 = \frac{20280 - 12000}{169} = \frac{8280}{169} \)

\( AL = \sqrt{\frac{8280}{169}} = \frac{\sqrt{8280}}{13} \)

Упростим \( \sqrt{8280} \): \( 8280 = 10 \cdot 828 = 10 \cdot 4 \cdot 207 = 40 \cdot 9 \cdot 23 = 360 \cdot 23 \). Это не очень хорошо упрощается. \( 8280 = 36 \cdot 230 \). \( \sqrt{8280} = 6 \sqrt{230} \).

\( AL = \frac{6\sqrt{230}}{13} \) см.

Ответ: \( \frac{6\sqrt{230}}{13} \) см.