9. Точка D на стороне АВ треугольника АВС выбрана так, что AD=АС. Известно, что ∠CAB=86° и ∠ACB=71°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

Дано: Треугольник ABC, точка D на стороне AB. AD = AC. ∠CAB = 86°, ∠ACB = 71°.

Найти: ∠DCB.

Шаг 1: Анализируем треугольник ABC.

Сначала найдем третий угол треугольника ABC, ∠ABC.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\[ ∠ABC + ∠CAB + ∠ACB = 180° \]

\[ ∠ABC + 86° + 71° = 180° \]

\[ ∠ABC + 157° = 180° \]

\[ ∠ABC = 180° - 157° = 23° \]

Шаг 2: Анализируем треугольник ADC.

Нам дано, что AD = AC. Это значит, что треугольник ADC является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона CD, а углами при основании — ∠ADC и ∠ACD.

Угол ∠CAB (86°) является углом при вершине A в равнобедренном треугольнике ADC. Значит, ∠ADC и ∠ACD равны.

Но мы знаем, что ∠CAB = 86°, а в условии сказано, что D лежит на стороне AB, то есть ∠CAB — это угол у вершины A в треугольнике ABC. В равнобедренном треугольнике ADC, угол при вершине A — это ∠CAD. Так как D лежит на AB, то ∠CAD = ∠CAB = 86°.

Теперь найдем углы при основании равнобедренного треугольника ADC:

\[ ∠ADC = ∠ACD = \frac{180° - ∠CAD}{2} \]

\[ ∠ADC = ∠ACD = \frac{180° - 86°}{2} \]

\[ ∠ADC = ∠ACD = \frac{94°}{2} = 47° \]

Шаг 3: Находим угол DCB.

Мы знаем, что ∠ACB = 71° и мы нашли ∠ACD = 47°.

Угол ∠ACB состоит из двух углов: ∠ACD и ∠DCB.

\[ ∠ACB = ∠ACD + ∠DCB \]

Подставим известные значения:

\[ 71° = 47° + ∠DCB \]

Найдем ∠DCB:

\[ ∠DCB = 71° - 47° \]

\[ ∠DCB = 24° \]

Ответ: 24°