9. Тип 8 № 12348 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, отрезок АН — высота. Угол ВСА равен 35°. Найди- те угол ВАН. Ответ дайте в градусах.

Задание 9. Угол в треугольнике

Дано:

• Треугольник \( ABC \)
• \( AB = BC \) (треугольник \( ABC \) равнобедренный)
• \( AH \) — высота
• \( \angle BCA = 35^{\circ} \)

Найти: \( \angle BAH \).

Решение:

1. Так как \( AB = BC \), треугольник \( ABC \) равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит \( \angle BAC = \angle BCA = 35^{\circ} \).
2. Сумма углов в треугольнике \( ABC \) равна 180°: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).
3. Подставим известные значения: \( 35^{\circ} + \angle ABC + 35^{\circ} = 180^{\circ} \).
4. \( \angle ABC + 70^{\circ} = 180^{\circ} \).
5. \( \angle ABC = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \).
6. \( AH \) — высота, значит \( \angle AHB = 90^{\circ} \) (по определению высоты).
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AHB \). Сумма углов в нём равна 180°: \( \angle BAH + \angle ABH + \angle AHB = 180^{\circ} \).
8. \( \angle ABH \) — это тот же угол, что и \( \angle ABC \), но мы должны использовать его как внутренний угол треугольника \( AHB \), который равен \( 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).
9. Подставим значения в треугольник \( AHB \): \( \angle BAH + 70^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
10. \( \angle BAH + 160^{\circ} = 180^{\circ} \).
11. \( \angle BAH = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \).

Ответ: 20.