№9 Решите уравнение: (sin(x/2))^2 - (cos(x/2))^2 = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \). В нашем случае \( \alpha = \frac{x}{2} \), поэтому \( \cos(x) = \cos^2(\frac{x}{2}) - \sin^2(\frac{x}{2}) \).

Умножим левую часть уравнения на -1:

\( -(\sin^2(\frac{x}{2}) - \cos^2(\frac{x}{2})) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( -\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

Теперь найдём значения \( x \), для которых косинус равен \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Это \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Можно записать ответ в более компактном виде:

\( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).