9. Решите уравнение \(\frac{15-x}{4} = \frac{9}{x}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней. Ответ:

Решение:

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить ноль справа: \(\frac{15-x}{4} - \frac{9}{x} = 0\).
2. Приведём дроби к общему знаменателю \(4x\): \(\frac{(15-x)x}{4x} - \frac{9 × 4}{4x} = 0\).
3. Упростим числитель: \(\frac{15x - x^2 - 36}{4x} = 0\).
4. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
5. Приравниваем числитель к нулю: \(-x^2 + 15x - 36 = 0\).
6. Умножим на -1, чтобы старший коэффициент стал положительным: \(x^2 - 15x + 36 = 0\).
7. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 × 1 × 36 = 225 - 144 = 81\).
8. Найдём корни: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + \sqrt{81}}{2 × 1} = \frac{15 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12\) и \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 9}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
9. Проверим условие \(4x \neq 0\). Оба корня (12 и 3) не равны нулю, поэтому они подходят.
10. Так как нужно записать меньший из корней, выбираем 3.

Ответ: 3.