9. Решите логарифмическое уравнение: \( \log_{5} (3x - 1) = -3 \)

Решение:

Чтобы решить логарифмическое уравнение, переведем его в показательное.

По определению логарифма, если \( \log_b a = c \), то \( b^c = a \).

В нашем случае основание \( b = 5 \), показатель \( c = -3 \), а аргумент логарифма \( a = 3x - 1 \).

Применим определение:

\[ 5^{-3} = 3x - 1 \]

Вычислим \( 5^{-3} \):

\[ 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ \frac{1}{125} = 3x - 1 \]

Решим это линейное уравнение:

\[ 3x = 1 + \frac{1}{125} \]

\[ 3x = \frac{125}{125} + \frac{1}{125} \]

\[ 3x = \frac{126}{125} \]

Разделим обе части на 3:

\[ x = \frac{126}{125 \cdot 3} \]

\[ x = \frac{42}{125} \]

Проверим область допустимых значений: аргумент логарифма \( 3x - 1 \) должен быть больше нуля.

\[ 3x - 1 > 0 \]

\[ 3x > 1 \]

\[ x > \frac{1}{3} \]

Сравним \( \frac{42}{125} \) и \( \frac{1}{3} \).

\( \frac{42}{125} = 0.336 \)

\( \frac{1}{3} \approx 0.333 \)

Так как \( 0.336 > 0.333 \), то \( x = \frac{42}{125} \) удовлетворяет условию области допустимых значений.

Ответ: \( x = \frac{42}{125} \)