5. Решите неравенство \( \cos \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Решение:

Заметим, что значение \( \cos x \) всегда находится в пределах от -1 до 1, то есть \( -1 \le \cos x \le 1 \).

Функция \( f(y) = \cos y \) является убывающей на отрезке \( [0, \pi] \).

Нас интересует неравенство \( \cos y \le \frac{\sqrt{3}}{2} \), где \( y = \cos x \).

Мы знаем, что \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Следовательно, для \( y \in [0, 1] \) (так как \( y = \cos x \) и \( y \ge 0 \) при \( \cos x \ge 0 \)), неравенство \( \cos y \le \frac{\sqrt{3}}{2} \) выполняется, когда \( y \in [\frac{\pi}{6}, \pi] \).

Однако, \( y = \cos x \) не может быть больше 1. Поэтому нас интересует случай, когда \( \cos x \ge 0 \).

Таким образом, мы ищем значения \( x \), для которых \( \cos x \) лежит в интервале \( [\frac{\pi}{6}, 1] \).

Если \( \cos x \ge 0 \), то \( x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k] \) для любого целого \( k \).

В этом интервале \( \cos x \) принимает значения от 0 до 1.

Неравенство \( \cos(\cos x) \le \frac{\sqrt{3}}{2} \) будет выполняться, когда \( \cos x \) находится в интервале \( [\frac{\pi}{6}, 1] \).

Рассмотрим это в единицах угла:

\( \frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52 \).

Значение \( 1 \) радиан приблизительно равно \( \frac{180}{\pi} \approx 57.3^{\circ} \).

Так как \( \cos x \) может принимать значения от 0 до 1, то мы ищем такие \( x \), что \( \cos x \in [\frac{\pi}{6}, 1] \).

Это означает, что \( x \) должен быть в интервалах, где \( \cos x \) находится между \( \frac{\pi}{6} \) и \( 1 \).

Для \( \cos x \ge 0 \), это означает, что \( x \) находится в окрестности 0, а именно \( x \in [-\arccos(1), -\arccos(\frac{\pi}{6})] \cup [\arccos(\frac{\pi}{6}), \arccos(1)] \).

\( \arccos(1) = 0 \).

\( \arccos(\frac{\pi}{6}) \) — это угол, косинус которого равен \( \frac{\pi}{6} \).

Таким образом, \( x \in [-\arccos(\frac{\pi}{6}), 0] \cup [0, \arccos(\frac{\pi}{6})] \). Поскольку 0 входит в оба интервала, мы можем объединить их:

\( x \in [-\arccos(\frac{\pi}{6}), \arccos(\frac{\pi}{6})] \).

Однако, в силу периодичности косинуса, полное решение будет:

\[ x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [-\arccos(\frac{\pi}{6}) + 2\pi k, \arccos(\frac{\pi}{6}) + 2\pi k] \]

Ответ: \( x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [-\arccos(\frac{\pi}{6}) + 2\pi k, \arccos(\frac{\pi}{6}) + 2\pi k] \)