Деепричастный оборот должен относиться к подлежащему, обозначать добавочное действие при основном.
а) «Приближаясь к березовой роще...» — действие добавляется к «дерева», что некорректно.
б) «Воробей... сжался» — действие «растопырив крылышки» добавляется к «воробей», это верно.
в) «Сережа обещал...» — действие «расстроившись» добавляется к «Сережа», это верно.
г) «Конь... потянулся» — действие «жалобно заржав» добавляется к «Конь», это верно.
Однако, предложение «Приближаясь к березовой роще, раздался треск повалившегося дерева» является наиболее типичным примером ошибки, когда деепричастный оборот не связан с подлежащим. Предложение «Сережа обещал маме исправиться, расстроившись от его шалости» также не совсем корректно, так как «расстроившись» больше относится к «исправиться».
Наиболее грамматически верно построенное предложение из предложенных, где деепричастный оборот относится к подлежащему, это «Приближаясь к березовой роще, раздался треск повалившегося дерева» (при условии, что дерево стало поваливаться, когда кто-то приближался к роще) или «Воробей, растопырив крылышки, и сжался весь от страха».
Однако, если рассматривать стандартные ошибки, то первое предложение является классическим примером неправильного употребления деепричастного оборота.
Если исходить из наиболее грамматически верного построения, где действие деепричастия совершает подлежащее, то варианта «б» и «г» подходят. Но если искать предложение, где нарушены правила, то «а» — наиболее частый пример.
Давайте пересмотрим. «Приближаясь к березовой роще» — действие приближения. «Раздался треск» — действие. Действие приближения не может являться добавочным к действию «раздался треск», и оно не совершается подлежащим «треск».
«Воробей... сжался». Действие «растопырив крылышки» совершает воробей.
«Сережа обещал...». Действие «расстроившись» совершает Сережа.
«Конь... потянулся». Действие «жалобно заржав» совершает конь.
Таким образом, все, кроме первого, построены верно. Если нужно выбрать один, то нужно искать более естественное сочетание.
«Приближаясь к березовой роще, раздался треск повалившегося дерева» — некорректно.
«Воробей, растопырив крылышки, и сжался весь от страха» — корректно.
«Сережа обещал маме исправиться, расстроившись от его шалости» — корректно.
«Конь, жалобно заржав, потянулся к хозяйке» — корректно.
Судя по всему, в вопросе подразумевается поиск предложения с ошибкой, а варианты б, в, г — правильные. Вариант а — ошибочный.