9. Постройте график функции y = cos² (π/6 – x/2) – sin² (x/2 – π/6) + 1.

Решение:

Упростим данное выражение, используя формулы тригонометрии.

1. Заметим, что \( x/2 - \pi/6 = -( \pi/6 - x/2 ) \). Так как \( \cos^2 \alpha = \cos^2(-\alpha) \) и \( \sin^2 \alpha = \sin^2(-\alpha) \), то \( \cos^2 (\pi/6 – x/2) = \cos^2 (x/2 – \pi/6) \).
2. Таким образом, выражение принимает вид: \( y = \cos^2 (x/2 – \pi/6) - \sin^2 (x/2 – \pi/6) + 1 \).
3. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \). В нашем случае \( \alpha = x/2 - \pi/6 \), поэтому \( 2\alpha = x - \pi/3 \).
4. \( y = \cos(x - \pi/3) + 1 \).
5. Это график функции \( y = \cos x \), смещённый на \( \pi/3 \) вправо и на 1 вверх.
6. Построим график:
• Базовый график \( y = \cos x \) имеет период \( 2\pi \), максимальное значение 1, минимальное -1.
• Сдвиг вправо на \( \pi/3 \) смещает точки максимума и минимума.
• Сдвиг вверх на 1 изменяет диапазон значений: от \( -1+1=0 \) до \( 1+1=2 \).

Ответ: график функции \( y = \cos(x - \pi/3) + 1 \).