8. Решите неравенство log₃ (x² – 2x + 1) ≤ 2.

Решение:

1. ОДЗ: Выражение под логарифмом должно быть положительным: \( x^2 - 2x + 1 > 0 \). Это \( (x-1)^2 > 0 \), что верно для всех \( x \) кроме \( x = 1 \).
2. Приведём неравенство к виду: \( \log_3 (x-1)^2 \le 2 \).
3. Перепишем \( 2 \) как логарифм по основанию 3: \( 2 = \log_3 3^2 = \log_3 9 \).
4. Неравенство принимает вид: \( \log_3 (x-1)^2 \le \log_3 9 \).
5. Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), функция \( y = \log_3 x \) возрастающая. Следовательно, мы можем опустить логарифмы, сохранив знак неравенства: \( (x-1)^2 \le 9 \).
6. Раскроем скобки: \( x^2 - 2x + 1 \le 9 \).
7. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 - 2x + 1 - 9 \le 0 \) → \( x^2 - 2x - 8 \le 0 \).
8. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 8 = 0 \): \( D = (-2)^2 - 4 · 1 · (-8) = 4 + 32 = 36 \). \( x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2+6}{2} = 4 \). \( x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2-6}{2} = -2 \).
9. Парабола \( y = x^2 - 2x - 8 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 2x - 8 \le 0 \) при \( -2 \le x \le 4 \).
10. Учитываем ОДЗ \( x
    e 1 \).
11. Объединяем полученный интервал с ОДЗ: \( [-2; 1) \cup (1; 4] \).

Ответ: \( [-2; 1) \cup (1; 4] \).