9. Найдите значение выражения a¹⁹·(b⁴)³ / (a-b)¹² при a=2, b=√2.

Решение:

Сначала упростим выражение, затем подставим значения переменных.

1. Шаг 1: Упростим \( (b^{4})^{3} \) в числителе: \( (b^{4})^{3} = b^{4 imes 3} = b^{12} \).
2. Шаг 2: Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^{19} \cdot b^{12}}{(a-b)^{12}} \).
3. Шаг 3: Подставим значения \( a=2 \) и \( b=\sqrt{2} \): \( \frac{2^{19} \cdot (\sqrt{2})^{12}}{(2-\sqrt{2})^{12}} \).
4. Шаг 4: Упростим \( (\sqrt{2})^{12} \): \( (\sqrt{2})^{12} = (2^{1/2})^{12} = 2^{(1/2) imes 12} = 2^{6} \).
5. Шаг 5: Подставим это значение обратно: \( \frac{2^{19} \cdot 2^{6}}{(2-\sqrt{2})^{12}} = \frac{2^{19+6}}{(2-\sqrt{2})^{12}} = \frac{2^{25}}{(2-\sqrt{2})^{12}} \).
6. Шаг 6: Вычислим \( (2-\sqrt{2})^{12} \). Заметим, что \( 2 = (\sqrt{2})^{2} \). Поэтому \( 2-\sqrt{2} = (\sqrt{2})^{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}-1) \).
7. Шаг 7: Теперь выражение: \( \frac{2^{25}}{(\sqrt{2}(\sqrt{2}-1))^{12}} = \frac{2^{25}}{(\sqrt{2})^{12} \cdot (\sqrt{2}-1)^{12}} = \frac{2^{25}}{2^{6} \cdot (\sqrt{2}-1)^{12}} = \frac{2^{19}}{(\sqrt{2}-1)^{12}} \).
8. Шаг 8: Дальнейшее упрощение может быть сложным без калькулятора, но если рассматривать структуру, то можно заметить, что \( (2-\sqrt{2})^{2} = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2} \).
9. Шаг 9: Возвращаясь к \( \frac{2^{19}}{(\sqrt{2}-1)^{12}} \), это выражение не упрощается до целого числа без дополнительных инструментов. Однако, если задача подразумевает упрощение до определенного вида, то \( \frac{2^{19}}{(\sqrt{2}-1)^{12}} \) является ответом.
10. Примечание: Если в задании подразумевается более простое числовое значение, возможно, есть ошибка в условии или ожидается приближенный расчет. Попробуем пересмотреть упрощение: \( \frac{a^{19}b^{12}}{(a-b)^{12}} = \frac{a^{19}}{(a-b)^{12}} \cdot b^{12} \).
11. Шаг 10: Подставляя \( a=2 \) и \( b=\sqrt{2} \): \( \frac{2^{19}}{(2-\sqrt{2})^{12}} \cdot (\sqrt{2})^{12} = \frac{2^{19}}{(2-\sqrt{2})^{12}} \cdot 2^{6} = \frac{2^{25}}{(2-\sqrt{2})^{12}} \).
12. Шаг 11: Обратим внимание на знаменатель: \( (2-\sqrt{2})^{12} = (\sqrt{2}(\sqrt{2}-1))^{12} = (\sqrt{2})^{12} (\sqrt{2}-1)^{12} = 2^6 (\sqrt{2}-1)^{12} \).
13. Шаг 12: Тогда выражение равно: \( \frac{2^{25}}{2^6 (\sqrt{2}-1)^{12}} = \frac{2^{19}}{(\sqrt{2}-1)^{12}} \).
14. Шаг 13: Дальнейшее упрощение возможно, если рассмотреть \( \frac{2^{19}}{(\sqrt{2}-1)^{12}} \). Нет явного числового ответа без калькулятора.
15. Альтернативный подход:
    \( \frac{a^{19} b^{12}}{(a-b)^{12}} = a^{19} \cdot \left(\frac{b}{a-b}\right)^{12} \).
    Подставим значения: \( 2^{19} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\right)^{12} \).
    Упростим дробь в скобках: \( \frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}+2}{4-2} = \frac{2\sqrt{2}+2}{2} = \sqrt{2}+1 \).
    Теперь выражение: \( 2^{19} \cdot (\sqrt{2}+1)^{12} \).
16. Шаг 14: \( (\sqrt{2}+1)^{2} = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3+2\sqrt{2} \).
    \( (\sqrt{2}+1)^{12} = ((3+2\sqrt{2})^{2})^{3} \).
    \( (3+2\sqrt{2})^{2} = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2} \).
    Это становится очень громоздким.
17. Возвращаясь к исходной формуле и подставляя значения:
    \( a=2, b=\sqrt{2} \).
    \( a-b = 2-\sqrt{2} \).
    \( b^{4} = (\sqrt{2})^{4} = 4 \).
    \( (b^{4})^{3} = 4^{3} = 64 \).
    \( a^{19} = 2^{19} \).
    \( (a-b)^{12} = (2-\sqrt{2})^{12} \).
    Выражение: \( \frac{2^{19} \cdot 64}{(2-\sqrt{2})^{12}} = \frac{2^{19} \cdot 2^{6}}{(2-\sqrt{2})^{12}} = \frac{2^{25}}{(2-\sqrt{2})^{12}} \).
18. Проверка условия: Возможно, подразумевалось \( (a-b)^{2} \) вместо \( (a-b)^{12} \) или другая степень. Если оставить как есть:
    \( \frac{2^{25}}{((2-\sqrt{2})^2)^6} = \frac{2^{25}}{((4 - 4\sqrt{2} + 2))^6} = \frac{2^{25}}{(6 - 4\sqrt{2})^6} = \frac{2^{25}}{(2(3-2\sqrt{2}))^6} = \frac{2^{25}}{2^6 (3-2\sqrt{2})^6} = \frac{2^{19}}{(3-2\sqrt{2})^6} \).
    Заметим, что \( (\sqrt{2}-1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2} \).
    Таким образом, \( \frac{2^{19}}{(( \sqrt{2}-1)^{2})^6} = \frac{2^{19}}{(\sqrt{2}-1)^{12}} \).
19. Окончательный вывод: Выражение \( \frac{2^{19}}{(\sqrt{2}-1)^{12}} \) не упрощается до простого числа без калькулятора.

Ответ: \( \frac{2^{19}}{(\sqrt{2}-1)^{12}} \)