9. Найдите меньший катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 198, а один из углов равен 30°.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник \( ABC \), где \( \angle C = 90^{\circ} \). Гипотенуза \( AB = 198 \). Один из углов равен \( 30^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы.

Катет \( BC \) противолежит углу \( A \).

\( BC = \frac{1}{2} AB \)

\( BC = \frac{1}{2} \cdot 198 \)

\( BC = 99 \).

Найдем второй угол треугольника:

\( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Катет \( AC \) противолежит углу \( B \) (который равен \( 60^{\circ} \)).

Катет, противолежащий углу в \( 60^{\circ} \), равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) гипотенузы.

\( AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 198 = 99\sqrt{3} \).

Сравним длины катетов: \( 99 \) и \( 99\sqrt{3} \).

Так как \( \sqrt{3} \) приблизительно \( 1.732 \), то \( 99\sqrt{3} > 99 \).

Следовательно, меньший катет равен \( 99 \) см.

Ответ: 99.