9. Известно, что парабола проходит через точку В(-1; -1/4) и её вершина находится в начале координат. Найдите уравнение этой параболы и вычислите, в каких точках она пересекает прямую у = -16.

Решение:

Уравнение параболы с вершиной в начале координат \( (0, 0) \) имеет вид \( y = ax^2 \) (если ось симметрии — ось \( Oy \)) или \( x = ay^2 \) (если ось симметрии — ось \( Ox \)).

Так как точка \( B(-1; -1/4) \) имеет отрицательную \( y \)-координату при отрицательной \( x \)-координате, ось симметрии параболы — ось \( Oy \), и ветви параболы направлены вниз.

Итак, уравнение параболы имеет вид \( y = ax^2 \).

Подставим координаты точки \( B(-1; -1/4) \) в уравнение, чтобы найти коэффициент \( a \):

\[ -\frac{1}{4} = a(-1)^2 \]

\( -\frac{1}{4} = a × 1 \)

\[ a = -\frac{1}{4} \].

Таким образом, уравнение параболы: \( y = -\frac{1}{4}x^2 \).

Теперь найдём точки пересечения этой параболы с прямой \( y = -16 \). Для этого приравняем правые части уравнений:

\[ -\frac{1}{4}x^2 = -16 \]

Умножим обе части на -4:

\[ x^2 = -16 × (-4) \]

\( x^2 = 64 \)

Извлечём квадратный корень:

\[ x = √{64} \]

\( x = ± 8 \).

Мы нашли значения \( x \). Значение \( y \) для обеих точек равно -16, так как они лежат на прямой \( y = -16 \).

Следовательно, точки пересечения имеют координаты \( (8; -16) \) и \( (-8; -16) \).

Ответ: Уравнение параболы \( y = -\frac{1}{4}x^2 \). Парабола пересекает прямую \( y = -16 \) в точках \( (8; -16) \) и \( (-8; -16) \).