9. Электроплитка имеет две спирали. Если в сеть включена первая спираль, то вода в кастрюле закипает через 20 мин, если спирали включены последовательно, то — через 30 мин. Через какое время закипит вода в кастрюле, если включена только вторая спираль? Начальные температуры и массы воды одинаковы. Сопротивление спиралей электроплитки не зависит от условий работы.

Решение:

Пусть \( R_1 \) — сопротивление первой спирали, \( R_2 \) — сопротивление второй спирали. Пусть \( Q \) — количество теплоты, необходимое для закипания воды. Работа, совершаемая нагревательным элементом, пропорциональна количеству теплоты, выделяемому за единицу времени (мощности).

Мощность первой спирали: \( P_1 = \frac{U^2}{R_1} \). Время закипания: \( t_1 = 20 \) мин. Количество теплоты: \( Q = P_1 t_1 = \frac{U^2}{R_1} t_1 \).

Мощность при последовательном соединении: \( P_{12} = \frac{U^2}{R_1+R_2} \). Время закипания: \( t_{12} = 30 \) мин. Количество теплоты: \( Q = P_{12} t_{12} = \frac{U^2}{R_1+R_2} t_{12} \).

Мощность второй спирали: \( P_2 = \frac{U^2}{R_2} \). Время закипания: \( t_2 \) (неизвестно). Количество теплоты: \( Q = P_2 t_2 = \frac{U^2}{R_2} t_2 \).

Из первых двух уравнений получаем:

\( \frac{U^2}{R_1} 20 = \frac{U^2}{R_1+R_2} 30 \)

\( \frac{20}{R_1} = \frac{30}{R_1+R_2} \)

\( 20(R_1+R_2) = 30R_1 \)

\( 20R_1 + 20R_2 = 30R_1 \)

\( 20R_2 = 10R_1 \)

\( R_1 = 2R_2 \).

Теперь используем третье уравнение и одно из предыдущих:

\( \frac{U^2}{R_2} t_2 = \frac{U^2}{R_1} 20 \)

\( \frac{t_2}{R_2} = \frac{20}{R_1} \)

Подставляем \( R_1 = 2R_2 \):

\( \frac{t_2}{R_2} = \frac{20}{2R_2} \)

\( t_2 = \frac{20}{2} = 10 \) мин.

Ответ: 10 мин.