9. Диагональ прямоугольника образует угол 86° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольник, образованный диагональю и двумя сторонами прямоугольника. Угол между стороной и диагональю равен \( 86^{\circ} \).

Диагонали прямоугольника пересекаются под некоторым углом. Пусть \( \alpha \) — угол между стороной и диагональю, равный \( 86^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( ABC \) (прямоугольный). Диагональ \( AC \) образует с одной из сторон \( \angle BAC = 86^{\circ} \).

Диагонали прямоугольника равны \( d_1 = d_2 \). Точка пересечения \( O \) делит диагонали пополам, поэтому \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим треугольник \( AOB \). \( AO = BO \), значит, он равнобедренный. Угол \( \angle OAB = 90^{\circ} - 86^{\circ} = 4^{\circ} \).

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, \( \angle OBA = \angle OAB = 4^{\circ} \).

Угол между диагоналями \( \angle AOB \) равен \( 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (4^{\circ} + 4^{\circ}) = 180^{\circ} - 8^{\circ} = 172^{\circ} \).

Тупой угол между диагоналями равен \( 172^{\circ} \). Острый угол между диагоналями равен \( 180^{\circ} - 172^{\circ} = 8^{\circ} \).

Ответ: 8