9. Деталь некоторого прибора является вращающейся катушкой. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой \(m=6\) кг и радиуса \(R=15\) см, и двух боковых с массами \(M=1\) кг и радиусами \(R+h\). Момент инерции катушки относительно оси вращения задаётся формулой \(I=\frac{(m+2M)R^2}{2}+M(2Rh+h^2)\). При каком максимальном значении \(h\) момент инерции не превышает \(1300\) кг·см²? Ответ дайте в сантиметрах.

Подставим заданные значения в формулу момента инерции:

\(I=\frac{(6+2\cdot1)\cdot15^2}{2}+1\cdot(2\cdot15h+h^2)=900+30h+h^2.\)

Требуется, чтобы \(I\le1300\), поэтому:

\(h^2+30h-400\le0.\)

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения:

\(h=\frac{-30\pm\sqrt{30^2+4\cdot400}}{2}=\frac{-30\pm50}{2}\), откуда \(h=-40\) и \(h=10\).

Так как \(h\) — прибавка к радиусу, \(h\ge0\). Неравенство выполняется при \(0\le h\le10\).

Ответ: 10 см.