9. Апофема правильной треугольной пирамиды 10 см, она наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти объем пирамиды.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде апофема \( a = 10 \) см. Угол наклона апофемы к плоскости основания равен \( \alpha = 30^{\circ} \).

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \]

Где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.

Основание — правильный треугольник. Для нахождения площади основания нам нужен радиус вписанной окружности \( r \), который является проекцией апофемы на основание.

В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой, высотой пирамиды и радиусом вписанной окружности, апофема является гипотенузой, а радиус вписанной окружности — катетом, прилежащим к углу \( \alpha \).

Найдем радиус вписанной окружности \( r \):

\[ r = a \cos \alpha = 10 \cos 30^{\circ} = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

Найдем высоту пирамиды \( h \):

\[ h = a \sin \alpha = 10 \sin 30^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см.

Теперь найдём площадь основания (правильного треугольника). Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

\[ S_{осн} = 3\sqrt{3} r^2 = 3\sqrt{3} (5\sqrt{3})^2 = 3\sqrt{3} (25 \cdot 3) = 3\sqrt{3} \cdot 75 = 225\sqrt{3} \) см².

Теперь вычислим объём пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} (225\sqrt{3}) \cdot 5 \]

\[ V = 75\(\sqrt{3}\) \(\cdot\) 5 = 375\(\sqrt{3}\) \) см³.

Ответ: \( 375\sqrt{3} \) см³.