6. Вычислите интеграл: ∫(x² - 10x) dx

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{-1}^{1} (x^2 - 10x) dx \) воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдём первообразную функции \( f(x) = x^2 - 10x \).

Первообразная для \( x^2 \) равна \( \frac{x^3}{3} \).

Первообразная для \( -10x \) равна \( -10 \cdot \frac{x^2}{2} = -5x^2 \).

Таким образом, первообразная \( F(x) = \frac{x^3}{3} - 5x^2 \).

Теперь вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

\[ F(1) = \frac{1^3}{3} - 5 \cdot 1^2 = \frac{1}{3} - 5 = \frac{1 - 15}{3} = -\frac{14}{3} \]

\[ F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 5 \cdot (-1)^2 = \frac{-1}{3} - 5 \cdot 1 = -\frac{1}{3} - 5 = \frac{-1 - 15}{3} = -\frac{16}{3} \]

Теперь найдём разность \( F(1) - F(-1) \):

\[ \int_{-1}^{1} (x^2 - 10x) dx = F(1) - F(-1) = -\frac{14}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = -\frac{14}{3} + \frac{16}{3} = \frac{16 - 14}{3} = \frac{2}{3} \]

Ответ: \( \frac{2}{3} \).