86 Студент в течение семестра выполнил несколько контрольных работ. Когда он узнал результаты всех работ, кроме последней, он заметил, что если за последнюю контрольную работу он получит 90 баллов, то средний балл за все работы будет равен 84, а если за последнюю работу он получит 72 балла, то средний балл за все работы составит 81. Сколько всего контрольных работ должен выполнить студент?

Объяснение:

Пусть \( k \) - количество контрольных работ, выполненных до последней. Тогда общее количество работ будет \( k+1 \).

Пусть \( S \) - сумма баллов за \( k \) работ.

Ситуация 1:

Последняя работа = 90 баллов. Общее количество работ = \( k+1 \).

Сумма всех баллов = \( S + 90 \).

Средний балл = 84. То есть: \( \frac{S + 90}{k+1} = 84 \)

\( S + 90 = 84(k+1) \)

\( S + 90 = 84k + 84 \)

\( S = 84k + 84 - 90 \)

\( S = 84k - 6 \) (Уравнение 1)

Ситуация 2:

Последняя работа = 72 балла. Общее количество работ = \( k+1 \).

Сумма всех баллов = \( S + 72 \).

Средний балл = 81. То есть: \( \frac{S + 72}{k+1} = 81 \)

\( S + 72 = 81(k+1) \)

\( S + 72 = 81k + 81 \)

\( S = 81k + 81 - 72 \)

\( S = 81k + 9 \) (Уравнение 2)

Решение:

Приравняем выражения для \( S \) из Уравнения 1 и Уравнения 2:

\( 84k - 6 = 81k + 9 \)

\( 84k - 81k = 9 + 6 \)

\( 3k = 15 \)

\( k = \frac{15}{3} \)

\( k = 5 \)

Это количество работ *до последней*. Общее количество работ = \( k + 1 = 5 + 1 = 6 \).

Проверка:

Если \( k=5 \), то \( S = 84 \times 5 - 6 = 420 - 6 = 414 \).

Ситуация 1: \( \frac{414 + 90}{5+1} = \frac{504}{6} = 84 \). Верно.

Ситуация 2: \( \frac{414 + 72}{5+1} = \frac{486}{6} = 81 \). Верно.

Ответ: Студент должен выполнить 6 контрольных работ.