829. Упростите выражение: а) 1 + (a-x)/x / (ax); б) (a^2 - b^2)/a^2 - 1 / (2a^2b^2).

Решение:

а) Упрощаем выражение:

$$1 + \frac{a-x}{x} = \frac{x}{x} + \frac{a-x}{x} = \frac{x+a-x}{x} = \frac{a}{x}$$

Теперь разделим полученное на ax:

$$\frac{\frac{a}{x}}{ax} = \frac{a}{x \cdot ax} = \frac{a}{a x^2} = \frac{1}{x^2}$$

б) Упрощаем выражение:

$$ \frac{\frac{a^2 - b^2}{a^2} - 1}{2a^2b^2} $$

Сначала упростим числитель дроби:

$$ \frac{a^2 - b^2}{a^2} - 1 = \frac{a^2 - b^2}{a^2} - \frac{a^2}{a^2} = \frac{a^2 - b^2 - a^2}{a^2} = \frac{-b^2}{a^2} $$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$$ \frac{\frac{-b^2}{a^2}}{2a^2b^2} = \frac{-b^2}{a^2 \cdot 2a^2b^2} = \frac{-b^2}{2a^4b^2} = \frac{-1}{2a^4} $$

Ответ: а) $$ \frac{1}{x^2} $$; б) $$ \frac{-1}{2a^4} $$