809 Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.

Условие: Около ромба ABCD можно описать окружность.

Доказательство:

1. Свойство ромба: В ромбе все стороны равны: AB = BC = CD = DA.
2. Свойство описанной окружности: Если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна 180°.
   • Для ромба это означает: ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.
3. Свойство углов ромба: В ромбе противоположные углы равны: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.
4. Совмещение свойств:
• Из ∠A + ∠C = 180° и ∠A = ∠C следует, что 2∠A = 180°, то есть ∠A = 90°.
• Аналогично, из ∠B + ∠D = 180° и ∠B = ∠D следует, что 2∠B = 180°, то есть ∠B = 90°.
5. Вывод: Так как все углы ромба равны 90° (∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°), а все стороны равны, то этот ромб является квадратом.

Что и требовалось доказать.