808 Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию с основаниями а и b.

Решение:

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, сумма противоположных сторон должна быть равна: a + b = c + d, где a и b - основания, c и d - боковые стороны.

Высота такой трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть h = 2r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и разностью оснований. По теореме Пифагора:

c² = h² + (a - b)²

Так как c = a + b - d, и в равнобедренной трапеции c = d, то 2c = a + b, откуда c = (a + b)/2.

Подставляем в формулу Пифагора:

((a + b)/2)² = (2r)² + (a - b)²

(a + b)²/4 = 4r² + (a - b)²

4r² = (a + b)²/4 - (a - b)²

4r² = (a² + 2ab + b² - 4(a² - 2ab + b²))/4

4r² = (a² + 2ab + b² - 4a² + 8ab - 4b²)/4

4r² = (-3a² + 10ab - 3b²)/4

r² = (-3a² + 10ab - 3b²)/16

r = sqrt((-3a² + 10ab - 3b²)/16)

Ответ: Радиус вписанной окружности равен r = sqrt(-3a² + 10ab - 3b²)/4.