8. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 104, HC = 26 и ∠ACB = 75°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC BH — высота, опущенная из вершины B на сторону AC. Это означает, что \( \angle BHC = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике BHC:

\( \angle BCH = \angle ACB = 75^{\circ} \).

\( \angle HBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ} \).

BM — медиана, проведенная к стороне AC. Это значит, что M — середина стороны AC.

\( AC = 104 \), значит, \( AM = MC = \frac{104}{2} = 52 \).

Мы знаем, что \( HC = 26 \).

Найдем длину отрезка MH:

\( MH = MC - HC = 52 - 26 = 26 \).

Рассмотрим треугольник BHC. Мы можем найти длину BH, используя тангенс:

\( BH = HC \tan(\angle BCH) = 26 \tan(75^{\circ}) \).

Значение \( \tan(75^{\circ}) = 2 + \sqrt{3} \).

\( BH = 26(2 + \sqrt{3}) \).

Теперь рассмотрим треугольник BHM. Мы знаем, что \( MH = 26 \) и \( BH = 26(2 + \sqrt{3}) \).

Мы можем найти угол AMB, который является внешним углом треугольника BMC. Или найти \( \angle BMH \) в треугольнике BHM.

В прямоугольном треугольнике BHM (если BH перпендикулярно AM, что не всегда верно, т.к. BM - медиана, а BH - высота)

В треугольнике BHM, \( \tan(\angle BMH) = \frac{BH}{MH} \).

\( \tan(\angle BMH) = \frac{26(2 + \sqrt{3})}{26} = 2 + \sqrt{3} \).

Угол, тангенс которого равен \( 2 + \sqrt{3} \), равен \( 75^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle BMH = 75^{\circ} \).

Угол AMB — это развернутый угол, если B, M, H лежат на одной прямой, но это не так. Угол AMB является смежным к углу BMC. Но мы нашли \( \angle BMH = 75^{\circ} \).

Угол AMB является смежным с углом BMC. Однако, \( \angle BMH \) не равно \( \angle AMB \).

В данном случае, \( \triangle BHM \) — это прямоугольный треугольник, так как BH — высота.

\( \tan(\angle AMB) \) в прямоугольном треугольнике BHM будет \( \frac{BH}{MH} \).

\( \tan(\angle AMB) = \frac{26(2 + \sqrt{3})}{26} = 2 + \sqrt{3} \).

Следовательно, \( \angle AMB = 75^{\circ} \).

Ответ: 75°.