8. В таблице дано распределение случайной величины Х. Найдите математическое ожидание и дисперсию величины Х.

Решение:

1. Математическое ожидание (E(X))

Математическое ожидание вычисляется по формуле: \( E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i) \)

Из таблицы:

• \( x_1 = 1, P(x_1) = 0.15 \)
• \( x_2 = 2, P(x_2) = 0.22 \)
• \( x_3 = 3, P(x_3) = 0.14 \)
• \( x_4 = 4, P(x_4) = 0.08 \)
• \( x_5 = 5, P(x_5) = 0.32 \)
• \( x_6 = 6, P(x_6) = 0.09 \)

\( E(X) = (1 \times 0.15) + (2 \times 0.22) + (3 \times 0.14) + (4 \times 0.08) + (5 \times 0.32) + (6 \times 0.09) \)

\( E(X) = 0.15 + 0.44 + 0.42 + 0.32 + 1.60 + 0.54 \)

\( E(X) = 3.47 \)

2. Дисперсия (D(X))

Дисперсия вычисляется по формуле: \( D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \)

Сначала найдем \( E(X^2) \): \( E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 P(x_i) \)

\( E(X^2) = (1^2 \times 0.15) + (2^2 \times 0.22) + (3^2 \times 0.14) + (4^2 \times 0.08) + (5^2 \times 0.32) + (6^2 \times 0.09) \)

\( E(X^2) = (1 \times 0.15) + (4 \times 0.22) + (9 \times 0.14) + (16 \times 0.08) + (25 \times 0.32) + (36 \times 0.09) \)

\( E(X^2) = 0.15 + 0.88 + 1.26 + 1.28 + 8.00 + 3.24 \)

\( E(X^2) = 14.81 \)

Теперь вычислим дисперсию:

\( D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 14.81 - (3.47)^2 \)

\( (3.47)^2 = 12.0409 \)

\( D(X) = 14.81 - 12.0409 \)

\( D(X) = 2.7691 \)

Ответ: Математическое ожидание E(X) = 3,47; Дисперсия D(X) = 2,7691.